Question

【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ－8cosθ＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P(2，0)．

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；

(2)设点Q与点G的极坐标分别为，(2，π)，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．

Answer 1

【答案】(1) y2＝8x， (t为参数)．(2) .

【解析】

（1）曲线C可化为ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，即得其直角坐标方程，根据已知写出直线l的参数方程；（2）先求出直线l的参数方程为，将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得到t2－8t－32＝0，利用韦达定理和直线参数方程t的几何意义求出|AB|=16, 再求点G到直线l的距离，即得△GAB的面积．

(1)曲线C可化为ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，

其直角坐标方程为y2＝8x，直线l的参数方程为(t为参数)．

(2)将点的极坐标化为直角坐标得(0，－2)，易知直线l的倾斜角α＝，

所以直线l的参数方程为(t为参数)．

将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得，

整理得t2－8t－32＝0，Δ＝(8)2＋4×32＝255＞0，

设t1，t2为方程为t2－8t－32＝0的两个根，则t1＋t2＝8，t1·t2＝－32，

所以.

由极坐标与直角坐标互化公式得点G的直角坐标为(－2，0)，易求点G到直线l的距离，所以.