【题目】设函数
(1)若在点
处的切线斜率为
,求
的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)若,求证:在
时,
.
【答案】(1);(2)当
时,
的单调减区间为
.单调增区间为
;
当时,
的单调减区间为
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)先求出,通过
在点
处的切线斜率,可得
,解得
;(2)由(1)知:
,结合导数分①
、②
两种情况讨论分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;;(3)通过变形,只需证明
即可,利用
,根据指数函数及幂函数的性质、函数的单调性及零点判定定理即得到结论.
试题解析:(1)若在点
处的切线斜率为
,
,
得.
(2)由
当时,令
解得:
当变化时,
随
变化情况如表:
由表可知: 在
上是单调减函数,在
上是单调增函数
当时,
,
的单调减区间为
所以,当时,
的单调减区间为
.单调增区间为
当时,
的单调减区间为
(3)当时,要证
,即证
令,只需证
∵
由指数函数及幕函数的性质知: 在
上是增函数
∵,∴
在
内存在唯一的零点,
也即在
上有唯一零点
设的零点为
,则
,即
,
由的单调性知:
当时,
,
为减函数
当时,
,
为增函数,
所以当时.
∴.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列4个命题
①“若,则
”的否命题是“若
,则
”;
②若命题,则
为真命题;
③“平面向量夹角为锐角,则
”的逆命题为真命题;
④“函数有零点”是“函数
在
上为减函数”的充要条件.
其中正确的命题个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在等差数列中,
,其前
项和为
,等比数列
的各项均为正数,
,且
,
.
(1)求数列和
的通项公式;
(2)令,设数列
的前
项和为
,求
(
)的最大值与最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=a﹣ ,
(1)若x∈[ ,+∞),①判断函数g(x)=f(x)﹣2x的单调性并加以证明;②如果f(x)≤2x恒成立,求a的取值范围;
(2)若总存在m,n使得当x∈[m,n]时,恰有f(x)∈[2m,2n],求a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若Ai(i=1,2,3,…,n)是△AOB所在平面内的点,且
=
,给出下列说法:
·(1)| |=|
|=|
|=…=|
|
·(2)| |的最小值一定是|
|
·(3)点A和点Ai一定共线
·(4)向量 及
在向量
方向上的投影必定相等
其中正确的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,有一块半径为2的半圆形纸片,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在圆周上,设CD=2x,梯形ABCD的周长为y.
(1)求出y关于x的函数f(x)的解析式;
(2)求y的最大值,并指出相应的x值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com