Question

14．椭圆H：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），原点O到直线MN的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中点M（0，-1），点N（a，0）．
（1）求该椭圆H的离心率e；
（2）经过椭圆右焦点F₂的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，O为原点，
若$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{OB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）直线MN的方程为：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{-1}$=1，即x-ay-a=0．由$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=$\sqrt{3}$．利用$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，即可的得出．H的离心率e=$\frac{c}{a}$．
（2）由（1）可知：椭圆H的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{OB}$，可得C$（\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}，\frac{1}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}）$，利用A，B，C都在椭圆上整理化简可得：x₁x₂+3y₁y₂=0．设直线l的方程为：x=my+$\sqrt{2}$，代入椭圆方程可得：（m²+3）y²+2$\sqrt{2}$my-1=0，利用根与系数的关系代入可得m，对直线l的斜率为0时，直接验证即可．

解答 解：（1）直线MN的方程为：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{-1}$=1，即x-ay-a=0．∵$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=$\sqrt{3}$．
又b=1，则$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴该椭圆H的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）由（1）可知：椭圆H的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{OB}$，∴C$（\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}，\frac{1}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}）$，由A，B，C都在椭圆上，∴${x}_{1}^{2}+3{y}_{1}^{2}$=3，①${x}_{2}^{2}+3{y}_{2}^{2}$=3，②$（\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}）^{2}$+3$（\frac{1}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}）^{2}$=3，③，由③化简整理可得：$\frac{1}{4}$（${x}_{1}^{2}+3{y}_{1}^{2}$）+$\frac{3}{4}$（${x}_{2}^{2}+3{y}_{2}^{2}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁x₂+3y₁y₂）=3，
把①②代入化简可得：x₁x₂+3y₁y₂=0，④．设直线l的方程为：x=my+$\sqrt{2}$，代入椭圆方程可得：（m²+3）y²+2$\sqrt{2}$my-1=0，∴y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+3}$，y₁•y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}}$+3，
∴x₁x₂=$（m{y}_{1}+\sqrt{2}）$$（m{y}_{2}+\sqrt{2}）$=m²y₁y₂+$\sqrt{2}$m（y₁+y₂）+2，
∴（m²+3）y₁•y₂+$\sqrt{2}$m（y₁+y₂）+2=0，
∴（m²+3）•$\frac{-1}{{m}^{2}}$+$\sqrt{2}$m•$\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+3}$+2=0，解得m=±1．
∴直线l的方程为x=±y+$\sqrt{2}$．
当直线l的斜率为0时，其方程为：y=0，此时A（$\sqrt{3}$，0），B（-$\sqrt{3}$，0），不满足④，舍去．
综上可得：直线l的方程为x=±y+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．