Question

1．AB是过椭圆b²x²+a²y²=a²b²的中心弦，F（c，0）为它的右焦点，则△FAB面积的最大值是bc．

Answer 1

分析 △FAB面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A到x轴的距离为 h，则△FAB面积等于$\frac{1}{2}$×c×2h=ch，由此能求出△FAB面积的最大值．

解答 解：∵AB是过椭圆b²x²+a²y²=a²b²的中心弦，F（c，0）为它的右焦点，
∴椭圆b²x²+a²y²=a²b²的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∴△FAB面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，
设A到x轴的距离为 h，由AB为过椭圆中心的弦，则B到x轴的距离也为 h，
∴△AOF 和△BOF 的面积相等，
∴△FAB面积等于$\frac{1}{2}$×c×2h=ch，又h的最大值为b，
∴△FAB面积的最大值是bc，
故答案为：bc．

点评 本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．