Question

若数列{a_n}满足

1

an+1

-

1

an

=d（n∈N^*，为常数），则称数列{a_n}为“调和数列”已知数列{a

1

xn

}为“调和数列”，且x₁+x₂+…+x₂₀=₂₀₀，则x₃x₁₈的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先根据数列{

1

xn

}为“调和数列”可确定数列{x_n}为等差数列，再由前20项的和得到x₃+x₁₈的值，最后根据基本不等式可求出x₃x₁₈的最大值．

解答：解：因为数列{

1

xn

}为“调和数列”，所以x_n+1-x_n=d（n∈N^*，d为常数），即数列{x_n}为等差数列，
由x₁+x₂+…+x₂₀=200得

20(x1+x20)

2

=

20(x3+x18)

2

=200，即x₃+x₁₈=20，
易知x₃、x₁₈都为正数时，x₃x₁₈取得最大值，
所以x₃x₁₈≤（

x3+x18

2

）²=100，即x₃x₁₈的最大值为100．
故答案为：100

点评：本题主要考查等差数列的前n项和，考查基本不等式的应用．