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设 A、B、C是直线l上的三点,向量
OA
OB
OC
满足关系:
OA
+(y-
3
sinxcosx)
OB
-(
1
2
+sin2x)
OC
=
0

(Ⅰ)化简函数y=f(x)的表达式;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(
1
2
x+
π
3
)
x∈[0,
12
]
的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列,试求实数b的值;
(Ⅲ)令函数h(x)=
2
(sinx+cosx)+sin2x-a,若对任意的x1x2∈[0,
π
2
]
,不等式h(x1)≤f(x2)恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(Ⅰ)原向量式变形由A、B、C三点共线可得-y+
3
sinxcosx+
1
2
+sin2x=1
,由三角函数的知识化简可得;(Ⅱ)可得函数g(x)的解析式,设交点的横坐标分别为x1,x2,x3,由对称性可得x2=
2
,可得g(x2)=cos
2
=0
,可得b值;(Ⅲ)只需要h(x)max≤f(x)min即可,分别求其最值可得关于a的不等式,解之可得.
解答:解:(Ⅰ)由已知可得
OA
=(-y+
3
sinxcosx)
OB
+(
1
2
+sin2x)
OC

∵A、B、C三点共线,∴-y+
3
sinxcosx+
1
2
+sin2x=1
----------------------------------------,(2分)
y=
3
sinxcosx+sin2x-
1
2
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x=sin(2x-
π
6
)

f(x)=sin(2x-
π
6
)
--------------------------------(4分)
(Ⅱ)可得函数g(x)=f(
1
2
x+
π
3
)
=sin[2(
1
2
x+
π
3
)-
π
6
]=sin(x+
π
2
)=cosx,x∈[0,
2
]
-----(5分)
设函数g(x)的图象与直线y=b的交点的横坐标分别为x1,x2,x3,且0≤x1x2x3
2

由已知,有x1+x3=2x2,另一方面,结合图象的对称性有
x1+x2
2
=π,
x2+x3
2
=2π
--------------------(7分)
∴x1=2π-x2,x3=4π-x2,代入x1+x3=2x2,解得x2=
2
------------(8分)
再代入g(x)=cosx,得g(x2)=cos
2
=0
,所以b=0------------------(9分)
(Ⅲ)不等式h(x1)≤f(x2)恒成立,只需要h(x)max≤f(x)min即可------------(10分)
t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)
,则t2=1+2sinxcosx=1+sin2x,∴sin2x=t2-1
t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)
x∈[0,
π
2
]
,则t∈[1,
2
]

函数h(x)转化为y=
2
t+t2-1-a=(t+
2
2
)2-a-
3
2
t∈[1,
2
]

t=
2
时,函数取得最大值h(x)max=3-a-----------------------------------(12分)
f(x)=sin(2x-
π
6
)
x∈[0,
π
2
]
上的最小值为f(x)min=-
1
2
------------------(13分)
由h(x)max≤f(x)min3-a≤-
1
2
a≥
7
2

故实数a的取值范围是[
7
2
,+∞)
--------14分
点评:本题考查等差数列和向量知识的综合应用,涉及三角函数的图象,属中档题.
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(Ⅰ)化简函数y=f(x)的表达式;
(Ⅱ)若函数的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列,试求实数b的值;
(Ⅲ)令函数h(x)=(sinx+cosx)+sin2x-a,若对任意的,不等式h(x1)≤f(x2)恒成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设 A、B、C是直线l上的三点,向量
OA
OB
OC
满足关系:
OA
+(y-
3
sinxcosx)
OB
-(
1
2
+sin2x)
OC
=
0

(Ⅰ)化简函数y=f(x)的表达式;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(
1
2
x+
π
3
)
x∈[0,
12
]
的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列,试求实数b的值;
(Ⅲ)令函数h(x)=
2
(sinx+cosx)+sin2x-a,若对任意的x1x2∈[0,
π
2
]
,不等式h(x1)≤f(x2)恒成立,求实数a的取值范围.

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