Question

17．在数列{a_n}中，若a₁=1，a_n+1=3a_n+3ⁿ，（n≥1），则该数列的通项公式a_n=（　　）

• A． n•3ⁿ
• B． n•3^n-1
• C． 3ⁿ
• D． 3^n-1

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，得到数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}构成以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，求其通项公式后得答案．

解答 解：由a_n+1=3a_n+3ⁿ（n≥1），得$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}+\frac{1}{3}$（n≥1），
∵a₁=1，∴$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}=\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}构成以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{n}{3}$，
∴a_n=n•3^n-1．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．