Question

7．已知数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}+3}}{{{a_n}+4}}\;（n∈{N^*}）$，设${b_n}=\frac{{{a_n}-λ}}{{{a_n}-μ}}\;\;（n∈{N^*}，λ，μ$为均不等于2的且互不相等的常数），若数列{b_n}为等比数列，则λ•μ的值为-3．

Answer 1

分析 ${b_n}=\frac{{{a_n}-λ}}{{{a_n}-μ}}\;\;（n∈{N^*}，λ，μ$为均不等于2的且互不相等的常数），${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}+3}}{{{a_n}+4}}\;（n∈{N^*}）$，可得b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}-λ}{{a}_{n+1}-μ}$=$\frac{（2-λ）{a}_{n}+（3-4λ）}{（2-μ）{a}_{n}+（3-4μ）}$．由于数列{b_n}为等比数列，可得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=q为常数，代入化简即可得出．

解答 解：∵${b_n}=\frac{{{a_n}-λ}}{{{a_n}-μ}}\;\;（n∈{N^*}，λ，μ$为均不等于2的且互不相等的常数），${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}+3}}{{{a_n}+4}}\;（n∈{N^*}）$，
∴b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}-λ}{{a}_{n+1}-μ}$=$\frac{\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+4}-λ}{\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+4}-μ}$=$\frac{（2-λ）{a}_{n}+（3-4λ）}{（2-μ）{a}_{n}+（3-4μ）}$，
∵数列{b_n}为等比数列，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=q为常数，
∴$\frac{{a}_{n}-λ}{{a}_{n}-μ}$q=$\frac{（2-λ）{a}_{n}+（3-4λ）}{（2-μ）{a}_{n}+（3-4μ）}$，
化为：（2q-qμ-2+λ）${{a}_{n}}^{2}$+[q（λμ-2λ-4μ+3）-（λμ-2μ-4λ+3）]a_n-q（3λ-4λμ）+（3μ-4λμ）=0，
∴2q-qμ-2+λ=0，
q（λμ-2λ-4μ+3）-（λμ-2μ-4λ+3）=0，
q（3λ-4λμ）-（3μ-4λμ）=0，
联立解得λ=-3，μ=1，q=5．
∴λμ=-3．
故答案为：-3．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．