Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，

a

=（S_n，1），

b

=（-1，2a_n+2ⁿ⁺¹），

a

⊥

b

．
（1）证明：数列{

an

2n

}为等差数列；
（2）若bn=

n-2011

n+1

an，且存在n₀，对于任意的k（k∈N₊），不等式bk≤bn0成立，求n₀的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式得到数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得结论；
（2）先求出数列的通项，利用b_n+1≥b_n，确定n的范围，由此可得结论．

解答：（1）证明：∵

a

=（S_n，1），

b

=（-1，2a_n+2ⁿ⁺¹），

a

⊥

b

．
∴-Sn+2an+2n+1=0
∴-Sn+1+2an+1+2n+2=0
两式相减可得an+1=2an-2n+1，∴

an+1

2n+1

=

an

2n

-1
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=-1
∴数列{

an

2n

}为等差数列；
（2）解：∵n=1时，-S1+2a1+21+1=0，∴a₁=-4，∴

a1

2

=-2
∴

an

2n

=-2-（n-1）=-（n+1），
∴bn=

n-2011

n+1

an=（2011-n）×2ⁿ，
令b_n+1≥b_n，则（2010-n）×2ⁿ⁺¹≥（2011-n）×2ⁿ，∴n≤2009
∴当1≤n＜2009时，b_n+1＞b_n，当n=2009时，b_n=b_n+1
当n＞2009时，b_n+1＜b_n∴b₁＜b₂＜…＜b₂₀₀₉=b₂₀₁₀＞b₂₀₁₁＞…
∴n₀=2009或2010．

点评：本题考查向量的数量积，考查数列递推式，考查等差数列的证明．考查数列的通项，正确求通项是关键．