Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为3.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点P(0，1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.己知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）Q(1，)或(﹣1，)

【解析】

（1）结合椭圆离心率以及右焦点到右准线的距离，以及，求得，进而求得椭圆的标准方程.

（2）首先判断直线斜率不存在时，四边形不可能是平行四边形，不符合题意.然后设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，求得点坐标并代入椭圆方程，由此求得的值，进而求得点坐标.

（1）设焦距为2c，

∵椭圆C的离心率为，∴①，

∵右焦点到右准线的距离为3，∴②，

由①，②解得a＝2，c＝1，故b2＝a2﹣c2＝3，

∴椭圆C的标准方程为，

（2）当直线l斜率不存在时，四边形OAQB不可能平行四边形，故直线l斜率存在

∵直线l过点P(0，1)，设直线l为：，

设A(，)，B(，)，

由四边形OAQB是平行四边形，得Q(，)

，化简得：，

，

，

∴Q(，)，∵点Q在椭圆C上，

∴，解得，代入Q的坐标，得

Q(1，)或(﹣1，).