Question

在△PAB中，已知A（-

6

，0）、B（

6

，0），动点P满足|PA|=|PB|+4．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设M（-2，0），N（2，0），过点N作直线l垂直于AB，且l与直线MP交于点Q，试在x轴上确定一点T，使得PN⊥QT．

Answer 1

分析：（1）由题意可知动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点，且求出双曲线的实半轴和半焦距，利用b²=c²-a²求出b²后可得动点P的轨迹方程；
（2）分别写出直线l与直线MP的方程，求出Q点的坐标（用含有k的代数式表示），设出P点的坐标，把直线MP的方程和双曲线方程联立后利用根与系数的关系求出P点的坐标，再设出T的坐标，写出向量

PN

与

QT

的坐标，由

PN

•

QT

=0列式可求T的坐标．

解答：解：（1）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点．
设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1．
由已知，得

c= 6 2a=4

，解得

c= 6 a=2

，∴b²=c²-a²=2．
∴动点P的轨迹方程为

x2

4

-

y2

2

=1(x＞2)．
（2）由题意，直线MP的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=2．
设MP的方程为y=k（x+2）．
∵点Q是l与直线MP的交点，∴Q（2，4k）．设P（x₀，y₀）
由

x2 4 - y2 2 =1 y=k(x+2)

，整理得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0
则此方程必有两个不等实根x₁=-2，x₂=x₀＞2．
∴1-2k²≠0，且-2x₀=-

8k2+4

1-2k2

．
∴y0=k(x0+2)=

4k

1-2k2

．∴P(

4k2+2

1-2k2

，

4k

1-2k2

)．
设T（t，0），要使PN⊥QT，只需

PN

•

QT

=0．
由N（2，0），

PN

=(-

8k2

1-2k2

，-

4k

1-2k2

)，

QT

=(t-2，-4k)．
∴

PN

•

QT

=-

1

1-2k2

[8k2(t-2)-16k2]=0．
∵k≠0，∴t=4，此时

PN

≠

0

，

QT

≠

0

，∴所求T的坐标为（4，0）．

点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹的求法，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法．直线与曲线联立，利用方程的根与系数的关系解题是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．