Question

将正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的六个面染色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻的两个面不能染同一颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．256种
B．144种
C．120种
D．96种

Answer 1

【答案】分析：首先分类用3种颜色和用4种颜色，用三种颜色先分步：4种颜色中选3种有4种结果，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种，当使用四种颜色，6个面4个颜色，相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色，换成剩下的那个颜色，最后相加相乘得到结果．
解答：解：由题意知本题是一个分类与分步原理综合应用问题，
首先涂法可分两类：用3种颜色 和 用4种颜色
用三种颜色先分步：4种颜色中选3种N=4
每相对的2个面颜色相同
先涂1个面3种情况，涂对面1种情况
涂邻面2种情况涂邻面的对面
涂剩下的2个面1种
此步情况数N=4×3×2=24
当使用四种颜色
6个面4个颜色
相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色
换成剩下的那个颜色有24×3=72
∴总情况数24+72=96
故选D．
点评：本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，本题解题的关键是利用计数原理，不重不漏的表示出所有符合条件的事件数，本题是一个难题．