Question

已知a，b都是正数，求证：

2ab

a+b

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，当且仅当a=b时等号成立．

Answer 1

分析：欲证明：“

2ab

a+b

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

”，即要证明两个不等式：“

2ab

a+b

≤

a+b

2

和

a+b

2

≤

a2+b2 2

”对于前一个可直接利用作差法；对于后一个先将两边的式子平方后再利用作差的方法，作差后结合基本不等式进行证明即得．

解答：证明：因为a＞0，b＞0

2ab

a+b

-

a+b

2

=

4ab-a2-2ab-b2

2(a+b)

=-

(a-b)2

2(a+b)

≤0?

2ab

a+b

≤

a+b

2

，
当且仅当a=b时取等号．（5分）(

a+b

2

)2-(

a2+b2 2

)2=

a2+2ab+b2

4

-

a2+b2

2

=

-a2+2ab-b2

4

=-

(a-b)2

4

?(

a+b

2

)2-(

a2+b2 2

)2≤0?(

a+b

2

)2≤(

a2+b2 2

)2?

a+b

2

≤

a2+b2 2

，
当且仅当a=b时取等号．（11分）
综上知：

2ab

a+b

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，当且仅当a=b时等号成立．（12分）

点评：这是一道课本习题．本题主要考查了不等式的证明方法，主要方法有：作差法，分析法，综合法都可，作差法是指：应用数的减法运算可以比较两个数的大小，这就是“作差法”，既要比较两个数a与b的大小，可先求出a与b的差a-b与0比较即可．