Question

（2012•盐城二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且过点P(

2

2

，

1

2

)，记椭圆的左顶点为A．
（1）求椭圆的方程；
（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；
（3）过点A作两条斜率分别为k₁，k₂的直线交椭圆于D，E两点，且k₁k₂=2，求证：直线DE恒过一个定点．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且过点P（

2

2

，

1

2

），建立方程，求出几何量，从而可得椭圆C的方程；
（2）设B（m，n），C（-m，n），则S_△ABC=

1

2

×2|m|×|n|=|m|•|n|，利用基本不等式可求△ABC面积的最大值；
（3）设AB、AC的方程，代入椭圆方程可求B、C的坐标，从而可得直线BC的方程，整理并令y=0，即可证得直线BC恒过定点．

解答：（1）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且过点P(

2

2

，

1

2

)，
∴

c

a

=

2

2

，

1 2

a2

+

1 4

b2

=1，解得

a=1 b= 2 2 c= 2 2

，
所以椭圆C的方程为x²+2y²=1…4分
（2）解：设B（m，n），C（-m，n），则S_△ABC=

1

2

×2|m|×|n|=|m|•|n|，…6分
又1=m2+2n2≥2

2m2n2

=2

2

|m|•|n|，所以|m|•|n|≤

2

4

，当且仅当|m|=

2

|n|时取等号…8分
从而S_△ABC≤

2

4

，即△ABC面积的最大值为

2

4

…9分
（3）证明：因为A（-1，0），所以AD：y=k₁（x+1），AE：y=k₂（x+1），
由

y=k1(x+1) x2+2y2=1

，消去y，得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-1=0，解得x=-1或x=

1-2k12

1+2k12

，
∴D(

1-2k12

1+2k12

，

2k1

1+2k12

)
同理E（

1-2k22

1+2k22

，

2k2

1+2k22

）
∵k₁k₂=2，∴E(

k12-8

8+k12

，

4k1

8+k12

)…12分
∴直线DE的方程为y-

2k1

1+2k12

=

4k1 8+k12 - 2k1 1+2k12

k12-8 8+k12 - 1-2k12 1+2k12

•(x-

1-2k12

1+2k12

)，
即y-

2k1

1+2k12

=

3k1

2(k12+2)

•(x-

1-2k12

1+2k12

)，即y=

3k1

2(k12+2)

x+

5k1

2(k12+2)

…14分
所以2yk12+(3x+5)k1+y=0，
则由

y=0 3x+5=0

，得直线DE恒过定点(-

5

3

，0)…16分．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查直线恒过定点，属于中档题．