Question

19、已知函数f（x）对一切x，y都有f（ab）=bf（a）+af（b）
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）是奇函数；
（3）若F（x）=af（x）+bx⁵+cx³+2x²+dx+3，已知F（-5）=7，求F（5）

Answer 1

分析：（1）用赋值法f（-1）
（2）用赋值法求f（1），f（-1），再对b赋值-1，就可得到关于f（-x）与f（x）的关系式．
（3）利用f（x）是奇函数可得F（x）-3-2x²也为奇函数，再利用奇函数的图象关于原点对称即可求F（5）．

解答：解：（1）令a=b=0?f（0）=0f（0）+0f（0）=0?f（0）=0
（2）证明：令a=b=1?f（1）=0，令a=b=-1?f（1）=-2f（-1）?f（-1）=0
令b=-1?f（-a）=-f（a）+af（-1）=-f（a）?f（-x）=-f（x）
所以f（x）是奇函数；
（3）∵f（x）是奇函数，
∴F（x）-3-2x²=af（x）+bx⁵+cx³+dx也为奇函数，
∴F（-5）-3-2×（-5）²=-[F（5）-3-2×5²]又因为F（-5）=7，
∴F（5）=-F（-5）+106=99，
即：F（5）=99．

点评：本题考查抽象函数的奇偶性及特殊值点，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．