Question

关于x的方程x³-3x+m-3=0有三个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1]
B．（-1，5）
C．（1，5）
D．（-∞，1]∪[5，+∞）

Answer 1

【答案】分析：首先设f（x）=x³-3x．求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，再分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程有三个不同的实根，求得实数m的范围．
解答：解：原方程化为：x³-3x=3-m，
设f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当x∈（-∞，-1），f'（x）＞0；
x∈（-1，1），f'（x）＜0；
x∈（1，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=-1取极大值2，在x=1时取极小值-2．
根据f（x）的大致图象的变化情况，有三个不同的实数解时，
-2＜3-m＜2
解得a的取值范围是1＜m＜5．
故选C．
点评：考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．