某商场销售某种商品.在市场调研中发现.次商品的日销售量y与销售价格x.大致满足如下关系:y=a(x-3)2+b.其中3＜x≤8.常数a.b为正实数．(Ⅰ)在近期的销售统计中.日销售量y和销售价格x有如下表所示的关系: X - 3.1 4 5 5.5 - y - 500 104 101 100.64 -若销售价格为3.5.则预计当天的销售量为多少?(Ⅱ)在长期的销售统� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

某商场销售某种商品，在市场调研中发现，次商品的日销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克），大致满足如下关系：y=

(x-3)2

+b，其中3＜x≤8，常数a，b为正实数．
（Ⅰ）在近期的销售统计中，日销售量y和销售价格x有如下表所示的关系：

X	…	3.1	4	5	5.5	…
y	…	500	104	101	100.64	…

若销售价格为3.5，则预计当天的销售量为多少？
（Ⅱ）在长期的销售统计中发现a受市场因素有波动，b趋于稳定，若b=100，且该商品的成本为3元/千克，试确定商场日销售该商品所获得的最低利润．

分析：（Ⅰ）将（4，104），（5，101）代入函数解析式，求出函数解析式，从而可求销售价格为3.5，当天的销售量；
（Ⅱ）设出日销售利润，分类讨论，求函数的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意，

a+b=104

+b=101

，∴

a=4

b=100

∴y=

(x-3)2

+100（3＜x≤8）
当x=3.5时，y=116，
故预计多天的销售量为116千克；
（Ⅱ）设日销售利润为g（x）=

x-3

+100(x-3)
∵3＜x≤8，∴0＜x-3≤5，
由

x-3

+100(x-3)≥20

，当且仅当

x-3

=100(x-3)，即x=3+

时，取“=”
若0＜

≤5，即0＜a≤2500时，g（x）_min=20

；
若

＞5，即a＞2500时，g′（x）=

100(x-3)2-a

(x-3)2

∵x∈（3，8]，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（3，8]上单调递减，
∴x=8时，g（x）_min=500+

．
综上，0＜a≤2500时，商场日销售该商品所获得的最低利润为20

元；a＞2500时，商场日销售该商品所获得的最低利润为500+

元．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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