Question

如图在矩形ABCD中，AB=2+

3

，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（　　）

• A．

  5π

  12

• B．

  π

  12

• C．

  6 + 2

  4

• D．

  6 + 2

  2

Answer 1

分析：根据题意点D在面ABC上的射影K在直线AE上，即D′K⊥AE．因为Rt△AD'K的斜边AD'=1为定长，所以K的轨迹是以AD′为直径的一段圆弧D′K．因此，求出圆心角∠D′OK的大小，结合弧长公式加以计算，即可求得K所形成轨迹的长度．

解答：解：由题意，D′K⊥AE，所以K的轨迹是以AD′为直径的一段圆弧D′K，设AD′的中点为O，
∵长方形ABCD′中，AB=2+

3

，BC=AD'=1，
∴tan∠D′AC=

D′C

AD′

=2+

3

，
∵∠D′AC是锐角，且tan

5π

12

=2+

3

，
∴可得∠D′AC=

5π

12

因此，∠D'OK=2∠D′AC=

5π

6

，
可得K所形成轨迹，也就是弧D'K的长度为L=

5π

6

×

1

2

=

5π

12

故选：A

点评：本题以平面图形的翻折为载体，考查立体几何中的轨迹问题，考查弧长公式的运用，解题的关键是利用Rt△AD'K的斜边AD'为定长，从而可知直角顶点K的轨迹是以AD′为直径的一段圆弧D′K．