Question

如图，点A，B分别是椭圆

x2

36

+

y2

20

=1的长轴的左右端点，点F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为：

3

x+y-4

3

=0且PA⊥PF．
（1）求直线AP的方程；
（2）设点M是椭圆长轴AB上一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据两直线垂直，求得AP的斜率，利用椭圆方程求得A的坐标，然后利用点斜式求得直线AP的方程．
（2）设出点M的坐标，利用两点间的距离公式利用题设建立等式求得m，进而可利用两点间的距离公式，表示出椭圆上的点到点M的距离d，利用x的范围和二次函数的单调性求得函数的最小值．

解答：解：（1）由题意得kAP=

3

3

，A的坐标为（-6，0）
则直线AP的方程为：x-

3

y+6=0．
（2）设M（m，0），则

|m+6|

2

=6-m，解得m=2或m=18（舍去），故M（2，0）．
d2=(x-2)2+y2=

4

9

x2-4x+24，x∈[-6，6]，
所以当x=

9

2

时，d_min²=15，即dmin=

15

．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，两点间的距离公式的运用以及二次函数的性质．考查了学生数形结合思想，函数思想的综合运用．