Question

已知实数x，y满足方程x²+y²+4y-96=0，有下列结论：
①x+y的最小值为；
②对任意实数m，方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；
③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为y=3；
④若x，y∈N^*，则xy的值为36或32．
以上结论正确的有________（用序号表示）

Answer 1

①③④
分析：根据圆的标准方程得到圆的参数方程，由x+y=-2+10sin（θ+45°）≥-2-10，故①正确．
方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆的外部，故直线和圆可能相切、相离．
由圆的对称性、切线的对称性知，A，B关于y轴对称，求出点M到AB的距离为15，故AB的方程为 y=18-15=3．
利用圆x²+（y+2）²=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），从而得到x，y∈N^*时xy的值．
解答：方程x²+y²+4y-96=0 即 x²+（y+2）²=100，表示以（0，-2）为圆心，以10为半径的圆．
令x=10cosθ，y=-2+10sinθ，有x+y=-2+10sin（θ+45°）≥-2-10，故①正确．
方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0（m∈R） 即 m（x-2y+16）-（2x+y-8）=0，表示过x-2y+16=0 与
2x+y-8=0交点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆的外部，故有的直线和圆有两个交点，有的直线和圆有一个交点，
有的直线和圆没有有交点，故②不正确．
过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A，B，由圆的对称性、切线的对称性知，A，B关于y轴
对称．切线MA==10，MA 与y轴的夹角为30°，点M到AB的距离为MA•cos30°=15，
故AB的方程为 y=18-15=3，故③正确．
圆x²+（y+2）²=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），若x，y∈N^*，则xy的值为36或32，故④正确．
综上，①③④正确
，故答案为：①③④．
点评：本题考查元的标准方程，参数方程，直线系方程，切线长的计算方法，判断②不正确是解题的难点．