Question

下列函数中，①；②y=；③y=log₂x+log_x2（x＞0且x≠1）；④y=3^x+3^-x；⑤；⑥；⑦y=log₂x²+2最小值为2的函数是________（只填序号）

Answer 1

①③④⑥
分析：①=|x|+||，由基本不等式可判断真假；
②y==+，由基本不等式可判断真假；
③当log₂x＜0时，y=log2x+logx2≤-2可判断真假；
④y=3^x+3^-x，由基本不等式可判断真假；
⑤当x＜0时，≤-6可判断真假；
⑥，由基本不等式可判断真假；
⑦求出函数y=log₂x²+2值域，可判断真假．
解答：①∵x与同号，故=|x|+||，由|x|＞0，||＞0
∴=|x|+||≥2=≥2，故正确；
②y==+，由＞0，＞0，
∴y=+≥2=2，故正确；
③当＜x＜1时，log₂x＜0时，y=log₂x+log_x2≤-2，故错误；
④由3^x＞0，3^-x＞0，
∴y=3^x+3^-x≥2=2，故正确；
⑤当x＜0时，≤-6，故错误；
⑥∵＞0，＞0，
则≥=2，故正确；
⑦∵x²＞0，故y=log₂x²∈（-∞，+∞），故y=log₂x²+2∈（-∞，+∞），故错误；
故答案为：①③④⑥
点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是基本不等式的应用条件的判断