Question

6．点P在曲线C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上，若存在过点P的直线交曲线C于A点，交直线l：x=4于B点，且满足|PA|=|PB|，则称P点为“二中点”，那么下列结论正确的是（　　）

• A． 曲线C上的所有点都是“二中点”
• B． 曲线C上的仅有有限个点是“二中点”
• C． 曲线C上的所有点都不是“二中点”
• D． 曲线C上的有无穷多个点（但不是所有的点）是“二中点”

Answer 1

分析 设出-2≤x_A＜x_P≤2，利用相似三角形求得x_P和x_A的关系，设出PA的方程与椭圆方程联立求得x_Ax_P的表达式，利用判别式大于0求得k和m的不等式关系，最后联立①②③求得x_A的范围，进而通过x_P＜1时，x_A=2x_P-4＜-2，故此时不存在“二中点，进而求得“二中点横坐标取值范围，判断出题设的选项．

解答 解：由题意，P、A的位置关系对称，于是不妨设-2≤x_A＜x_P≤2，（此时PA=AB）．
由相似三角形，2|4-x_P|=|4-x_A|
即：x_A=2x_P-4…①
设PA：y=kx+m，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由韦达定理可知：x_Ax_P=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$，…②
∵△＞0
4k²＞m²-1…③
联立①②③，得x_P²-2x_P＜$\frac{2}{1+\frac{1}{4{k}^{2}}}$，而0＜$\frac{2}{1+\frac{1}{4{k}^{2}}}$＜2
即x_P²-2x_P＜2
即1-$\sqrt{3}$≤x_P≤2
而当x_P＜1时，x_A=2x_P-4＜-2，故此时不存在“二中点”，
∴“二中点”的横坐标取值为[-2，0]U[1，2]，
故曲线C上的有无穷多个点（但不是所有的点）是“二中点”．
故选：D．

点评 本题主要考查新定义的理解和运用，考查直线与曲线的关系，直线与直线的交点和中点坐标公式的运用，以及方程有解的条件，解题的关键是讨论方程两边的范围，属于中档题．