Question

如图所示，过点M（-6，0）作圆C：x²+y²-6x-4y+9=0的割线，交圆C于A、B两点．
（1）求线段AB的中点P的轨迹；
（2）在线段AB上取一点Q，使

1

MA

+

1

MB

=

2

MQ

，求点Q的轨迹．

Answer 1

分析：（1）设中点P的坐标，建立关于点P的方程，从而确定轨迹方程．
（2）利用代入法求点点Q的轨迹．

解答：解：（1）圆C的方程为（x-3）²+（y-2）²=4，其圆心为C（3，2），半径为2．
又M∈{M|PC⊥MP，P在已知圆内}，
设P点坐标（x，y），则CP的斜率为

y-2

x-3

(x≠3)，MP的斜率为

y

x+6

(x≠-6)，
所以

y-2

x-3

•

y

x+6

=-1，化简得x²+y²+3x-2y-18=0．
点C（3，2）应在轨迹上，而x=3时，y=2满足方程x²+y²+3x-2y-18=0，
所以点P的轨迹是圆x²+y²+3x-2y-18=0在已知圆内的一段弧．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），直线AB的斜率为k，则有MA=

1+k2

(x1+6)， MB=

1+k2

(x2+6)，MQ=

1+k2

(x+6)，
代入

1

MA

+

1

MB

=

2

MQ

，有

1

x1+6

+

1

x2+6

=

2

x+6

，
即

2

x+6

=

x1+x2+12

x1x2+6(x1+x2)+36

，①
把y=k（x+6）代入x²+y²-6x-4y+9=0，得（k²+1）x²+2（6k²-2k-3）x+3（12k²-8k+3）=0，x1+x2=-

2(6k2-2k-3)

k2+1

，x1•x2=

3(12k2-8k+3)

k2+1

，②
②代入①并化简得

2

x+6

=

4k+18

81

⇒2k(x+6)+9x-27=0，而k=

y

x+6

，从而有9x+2y-27=0，所以点Q的轨迹是直线9x+2y-27=0的圆内部分．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，运算量较大，综合性较强．