Question

一种商品，进货价每件40元，若销售价定为每件50元，则平均日销售量为30件．据市场调查：如果该商品每提高或降低1元，销售量相应地减少或增加2件．当商品销售价定为每件（50+x）元时，要求既要赚钱又要卖得出去，该商品每天利润设为y元，规定x为整数．
（1）写出函数y=f（x）的解析式，指出其定义域；
（2）当销售价定为多少元时，日利润最大，并求出最大利润．

Answer 1

解：（1）商品销售价定为每件（50+x）元，由题意，得
y=f（x）=（50+x-40）（30-2x）
=（x+10）（30-2x）
=-2x²+10x+300
由于既要赚钱又要卖得出去，故x+10＞0，且30-2x＞0
即-10＜x＜15
又∵x为整数
故函数的定义域为{x∈Z|-10＜x＜15}
（2）由（1）中f（x）=-2x²+10x+300（-10＜x＜15，x∈Z）
∵函数y=-2x²+10x+300，当x=时有最大值
∴当x=2或x=3时，利用有最大值312
答：售价为52元或53元时，此时利润最大，最大为312元．
分析：（1）设商品的定价为x元，由这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少2件，列出等式求得x的值即可；
（2）设利润为y元，列出二次函数关系式，在售价不超过40元/件的范围内求得利润的最大值．
点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是对题意的正确理解．