Question

已知函数f（x），（x∈R⁺），满足f（3x）=3f（x）．若f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），试计算：
（1）f（99）=

 

；
（2）集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是

 

．

Answer 1

考点：函数的值,集合的表示法,抽象函数及其应用

专题：计算题

分析：（1）由f（3x）=3f（x）将f（99）递推下去，代入解析式求值；
（2）根据题意，求出当3≤x≤9时的表达式，同理求出当9≤x≤27时、当27≤x≤81时和当81≤x≤243时的表达式，然后解方程f（x）=18，即可得到集合M中最小的元素．

解答： 解：（1）根据题意：f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），
所以f（99）=3f（33）=3²f（11）=3³f（

11

3

）=3⁴f（

11

9

）=3⁴（1-|

11

9

-2|）=18；
（2）由题意得，当3≤x≤9时，f（x）=3f（

x

3

）=3-|x-6|；
当9≤x≤27时，f（

x

3

）=3-|3•

x

3

-6|=3-|x-6|，此时f（x）=3f（

x

3

）=9-|3x-18|； 
当27≤x≤81时，f（

x

3

）=9-|3•

x

3

-18|=9-|x-18|，此时f（x）=3f（

x

3

）=27-|3x-54|； 
当81≤x≤243时，f（

x

3

）=27-|3•

x

3

-54|=27-|x-54|，此时f（x）=3f（

x

3

）=81-|3x-162|．
由此可得f（99）=18，
接下来解方程f（x）=18：
当81≤x≤243时，81-|3x-162|=18，得3x-162=±63，所以x=75或33（舍去）；
当27≤x≤81时，27-|3x-54|=18，得3x-54=±81，所以x=45（舍负）；
当9≤x≤27时，9-|3x-18|=18，找不到符合条件的x；
当3≤x≤9时，3-|3x-6|=18，找不到符合条件的x；
当1≤x≤3时，1-|x-2|=18，找不到符合条件的x．
因此集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是45，
故答案为：（1）18；（2）45．

点评：本题是分段函数问题，要严格按照题目要求转化为已知的问题去解决，考查讨论方程的最小正数解，函数的定义和方程根的分布等知识．