Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x-3）²+y²=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为3．

Answer 1

分析 双曲线的渐近线方程为：bx-ay=0，取AB中点为M，圆心C到M的距离丨CM丨=2$\sqrt{2}$，$\frac{b}{a}$=tan∠BAC=2$\sqrt{2}$，双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意知，双曲线过第一、三象限的渐近线方程为bx-ay=0，取AB中点为M，如图所示，

由勾股定理，可知圆心C（3，0），到M的距离丨CM丨=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{b}{a}$=tan∠BAC=2$\sqrt{2}$，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+8}$=3，
故答案为：3．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查勾股定理的应用及双曲线离心率的求法，属于基础题．