Question

20．甲、乙、丙三名学生计划利用今年“十一”长假从五个旅游景点（五个景点分别是：大理、丽江、西双版纳、峨眉山、九寨沟）中每人彼此独立地选三个景点游玩，其中甲同学必选峨眉山，不选九寨沟，另从其余景点中随机任选两个；乙、丙两名同学从五个景点中随机任选三个．
（1）求甲同学选中丽江景点且乙同学未选中丽江景点的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙选中丽江景点的人数之和，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设事件A为“甲同学选中丽江景点”、事件B为“乙同学选中丽江景点”，事件A与事件B相互独立，由此能求出甲同学选中丽江景点且乙同学未选中丽江景点的概率．
（2）设事件C为“丙同学选中丽江景点”，则$P（C）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$．X的所有可能取值为0，1，2，3，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设事件A为“甲同学选中丽江景点”、事件B为“乙同学选中丽江景点”，
则P（A）=$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，P（B）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$． …（3分）
因为事件A与事件B相互独立，
故甲同学选中丽江景点且乙同学未选中丽江景点的概率为$P（{A\overline B}）=P（A）P（{\overline B}）=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}=\frac{4}{15}$． …（5分）
（2）设事件C为“丙同学选中丽江景点”，
则$P（C）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$．
X的所有可能取值为0，1，2，3．…（7分）
$P（{X=0}）=P（{\overline A\overline B\overline C}）=\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}=\frac{4}{75}$．
$P（{X=1}）=P（{A\overline B\overline C}）+P（{\overline AB\overline C}）+P（{\overline A\overline BC}）=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{20}{75}$．
$P（{X=2}）=P（{AB\overline C}）+P（{A\overline BC}）+P（{\overline ABC}）=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{33}{75}$．
$P（{X=3}）=P（{ABC}）=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{18}{75}$． …（9分）
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{20}{75}$	$\frac{33}{75}$	$\frac{18}{75}$

X的数学期望为：$E（X）=0×\frac{4}{75}+1×\frac{20}{75}+2×\frac{33}{75}+3×\frac{18}{75}=\frac{28}{15}$．  …（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．