Question

某学校为高二年级开展第二外语选修课，要求每位同学最多可以选报两门课程．已知有75%的同学选报法语课，有60%的同学选报日语课．假设每个人对课程的选报是相互独立的，且各人的选报相互之间没有影响．
（1）任选1名同学，求其选报过第二外语的概率；
（2）理科：任选3名同学，记ξ为3人中选报过第二外语的人数，求ξ的分布列、期望和方差．
文科：任选3名同学，求3人中恰有1人选报过第二外语的概率．

Answer 1

解：设事件A：选报法语课；事件B：选报日语课．
由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）=0.75．P（B）=0.6
（1）解法一：任选1名同学，
该人一门课程均没选报的概率是
所以该人选报过第二外语的概率是P₂=1-P₁=1-0.1=0.9．…（6分）
解法二：任选1名同学，该人只选报一门课程的概率是
该人选报两门课程的概率是P₄=P（A•B）=0.75×0.6=0.45．
所以该人选报过第二外语的
概率是P₅=P₃+P₄=0.45+0.45=0.9…（6分）
（2）【理科】因为每个人的选报是相互独立的，
所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B（3，0.9），
P（ξ=k）=C₃^k×0.9^k×0.1^3-k，k=0，1，2，3，
即ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.001	0.027	0.243	0.729

…（9分）ξ的期望是Eξ=1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7
（或ξ的期望是Eξ=3×0.9=2.7）…（11分）
ξ的方差是Dξ=3×0.98×（1-0.98）=0.0588…（12分）
【文科】3人中有1人选报过第二外语的概率为C₃¹×0.9¹×0.1²=0.027------（12分）
分析：设事件A：选报法语课；事件B：选报日语课．由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）=0.75．P（B）=0.6
（1）法一：任选1名同学，该人一门课程均没选报的概率是，由此能求出该人选报过第二外语的概率．
法二：任选1名同学，该人只选报一门课程的概率是
该人选报两门课程的概率是P₄=P（A•B）=0.75×0.6=0.45．由此能求出该人选报过第二外语的概率．
（2）【理科】因为每个人的选报是相互独立的，所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B（3，0.9），P（ξ=k）=C₃^k×0.9^k×0.1^3-k，k=0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ及ξ的方差是Dξ．
【文科】3人中有1人选报过第二外语的概率为C₃¹×0.9¹×0.1²=0.027．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型分布列的求法和数学期望的计算，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布知识的灵活运用．