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下列命题
①若两直线平行,则两直线斜率相等.
②动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1).则动点M的轨迹是圆.
③若椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率  e=
2
2
,则  b=c  (c为半焦距)

④双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点到渐近线的距离为b.
⑤已知抛物线y2=2px上两点A(x1,y1),B(x2,y2),且OA⊥OB(O为原点),则y1y2=-p2
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
.(写出所有正确命题的序号)
分析:对于①,当直线不存在斜率时,不正确;对于②,通过建立坐标系,求出动点的轨迹方程判断出正确;利用椭圆中三个参数的关系判断出③对;对于④,据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程,利用点到直线的距离公式判断出正确;对于⑤,利用向量垂直的充要条件判断出其错.
解答:解:对于①,当直线不存在斜率时,不正确;
对于②,以AB所在的直线为x轴,AB的中垂线为y轴建立坐标系,设M(x,y),A(-a,0),B(a,0),则有
y2+(x+a)2
y2+(x-a)2
化简得(1-λ2)x2+(1-λ2)y2+(2a+2aλ2)x+a2-a2λ2=0,所以动点M的轨迹是圆,正确
对于③,e=
2
2
,所以
c
a
=
2
2
,所以a2=2c2,所以椭圆中有b2=a2-c2=c2,所以b=c,所以③对;
对于④,双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点坐标为(±c,0),渐近线的方程为:y=±
b
a
x
,根据点到直线的距离公式得到距离=
bc
a2+b2
=b
.所以④正确;
对于⑤,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,又因为y2=2px,所以y12=2px1y22=2px2,所以y1y2=-4p2.不正确
故答案为:②③④
点评:本题考查利用曲线的方程判断曲线的形状;考查椭圆中三个参数的关系;考查双曲线中渐近线的方程,属于一道综合题.
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有下列命题:

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②直角梯形是平面图形;

③{长方体}{正四棱柱}{直平行六平体};

④若a、b是两条异面直线,a平面α,a∥平面β,b∥平面α,则α∥β;

⑤在四面体P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,则点A在面PBC内的射影为△PBC的垂心,其中真命题的个数是

[  ]
A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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A.若,则

B.若

C.若

D.若

 

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③P是△ABC所在平面外一点,O是点P在平面上的射影.若PA 、PB、PC两两垂直,则O是△ABC垂心.

④若三点不共线,是平面外一点.,则点一定在平面上,且在△ABC内部,上述命题中正确的命题是                  

 

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