Question

设函数f（x）=

1

2

（a^x-a^-x）（a＞1）的反函数是f^-1（x），则使f^-1（x）＞1成立的x的取值范围是（　　）

• A．（0，1）
• B．（0，

  a2-1

  2a

  ）
• C．（

  a2-1

  2a

  ，+∞）
• D．（-∞，

  a2-1

  2a

  ）

Answer 1

分析：首先由函数f（x）求其反函数，要用到解指数方程，整体换元的思想，将a^x看作整体解出，然后由f^-1（x）＞1构建不等式解出即可．

解答：解：由题意设y=

1

2

（a^x-a^-x）整理化简得a^2x-2ya^x-1=0，
解得：ax=y±

y2+1

∵a^x＞0，∴ax=y+

y2+1

，
∴x=log_a（y+

y2+1

）
∴f^-1（x）=log_a（x+

x2+1

）
由使f^-1（x）＞1得log_a（x+

x2+1

）＞1
∵a＞1，∴x+

x2+1

＞a
由此解得：x＞

a2-1

2a

．
故选C．

点评：本题考查反函数的概念、求反函数的方法、解指数方程、解不等式等知识点，有一定的综合性．