Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m与椭圆C交于两点A，B，O为坐标原点，若△OAB为直角三角形，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据离心率和（2，0）点代入椭圆方程进而可求得a和c，进而求得b，方程可得．
（2）把直线与椭圆联立，消去y，根据判别式大于0，进而可求得m的范围．设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），当∠AOB为直角时，根据

OA

•

OB

=0，、求得m；当∠OAB或∠OBA为直角时，不妨设∠OAB为直角，由直线l的斜率为1，可得直线OA的斜率为-1，可得x₁和y₁的关系进而求得x₁和m．

解答：解：（Ⅰ）由已知

c

a

=

3

2

，

4

a2

=1，
所以a=2，c=

3

，
又a²=b²+c²，所以b=1，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；．
（Ⅱ）联立

x2 4 +y2=1  y=x+m

，
消去y得5x²+8mx+4m²-4=0，△=64m²-80（m²-1）=-16m²+80，
令△＞0，即-16m²+80＞0，解得-

5

＜m＜

5

．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
（ⅰ）当∠AOB为直角时，
则x1+x2=-

8

5

m ， x1x2=

4m2-4

5

，
因为∠AOB为直角，所以

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
所以

8m2-8

5

-

8

5

m2+m2=0，解得m=±

2

5

10

．
（ⅱ）当∠OAB或∠OBA为直角时，不妨设∠OAB为直角，
由直线l的斜率为1，可得直线OA的斜率为-1，
所以

y1

x1

=-1，即y₁=-x₁，
又

x 2 1

4

+

y

2 1

=1；，
所以

5

4

x

2 1

=1；，x1=±

2

5

5

，m=y1-x1=-2x1=±

4

5

5

，
经检验，所求m值均符合题意，综上，m的值为±

2

5

10

和±

4

5

5

．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．