Question

（2012•四川）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．设a为正整数，数列{x_n}满足x₁=a，xn+1=[

xn+[ a xn ]

2

](n∈N*)，现有下列命题：
①当a=5时，数列{x_n}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{x_n}都存在正整数k，当n≥k时总有x_n=x_k；
③当n≥1时，xn＞

a

-1；
④对某个正整数k，若x_k+1≥x_k，则xk=[

a

]．
其中的真命题有

①③④

．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，①列举即可；②需举反例；③可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误

解答：解：①当a=5时，x₁=5，
x2=[

x1+[ a x1 ]

2

] =[

5+[ 5 5 ]

2

] =3，
x3=[

x2+[ a x2 ]

2

] = [

3+[ 5 3 ]

2

] =2，
∴①正确．
②当a=8时，x₁=8，
x2=[

x1+[ a x1 ]

2

] =[

8+[ 8 8 ]

2

] =4
x3=[

x2+[ a x2 ]

2

] = [

4+[ 8 4 ]

2

] =3
x4=[

x3+[ a x3 ]

2

] = [

3+[ 8 3 ]

2

] =2
x5=[

x4+[ a x4 ]

2

] = [

2+[ 8 2 ]

2

] =3
∴此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2…为摆动数列，故②错误；
③当n=1时，x₁=a，∵a-（

a

-1）=(

a

-

1

2

) 2+

3

4

＞0，∴x₁=a＞

a

-1成立，
假设n=k时，xk＞

a

-1，
则n=k+1时，xk+1=[

xk+[ a xk ]

2

]，
∵

xk+[ a xk ]

2

≥

xk+ a xk

2

≥

a

，
∴xk+1=[

xk+[ a xk ]

2

]＞

a

-1
∴对任意正整数n，当n≥1时，xn＞

a

-1；③正确；
④xk+1=[

xk+[ a xk ]

2

]≥x_k，
由数列①②规律可知xk=[

a

]一定成立
故正确答案为①③④

点评：本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力