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(06年湖北卷文)(13分)

分别为椭圆的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且为它的右准线。

(Ⅰ)、求椭圆的方程;

(Ⅱ)、设为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线分别与椭圆相交于异于的点,证明点在以为直径的圆内。

(此题不要求在答题卡上画图)

 

解析:(I)依题意得解得  从而b=,

故椭圆方程为

(II)解法1:由(I)得A(-2,0),B(2,0)。设

点在椭圆上,

点异于顶点

三点共线可得.

从面

.

将①式代入②式化简得

>0,>0.于是为锐角,从而为钝角,故点在以为直径的圆内.

解法2:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).设P(4,)(0),M(),N(),则直线AP的方程为,直线BP的方程为

点M、N分别在直线AP、BP上,

+2),-2).从而+2)(-2).③

联立消去y得(27++4x+4(-27)=0.

,-2是方程得两根,(-2).,即.  ④

=(-2, ).(-2,)=(-2)(-2)+.   ⑤

于是由③、④式代入⑤式化简可得

-2).

N点在椭圆上,且异于顶点A、B,<0.

> 0, 从而<0.

为钝角,即点B在以MN为直径的圆内.

解法3:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).设M(),N(),则-2<<2 , -2<<2.又MN的中点Q的坐标为(),

化简得=(-2)(-2)+.                      ⑥

直线AP的方程为,直线BP的方程为.

点P在准线x=4上,

,即.                                  ⑦

M点在椭圆上,=1,即                   ⑧

于是将⑦、⑧式化简可得.

从而B在以MN为直径的圆内.

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