Question

15．已知函数f（x）=a•4^x-a•2^x+1+1-b（a＞0）在区间[1，2]上有最大值9和最小值1
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）-k•4^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x∈[2，4]，依题意知，y=at²-2at+1-b，t∈[2，4]，由即可求得a、b的值．
（2）设2^x=t，k≤$\frac{{t}^{2}-2t+1}{{t}^{2}}$=1-$\frac{2}{t}$+$\frac{1}{{t}^{2}}$，求出函数1-$\frac{2}{t}$+$\frac{1}{{t}^{2}}$的大值即可

解答 解：（1）令t=2^x∈[2，4]，
则y=at²-2at+1-b，t∈[2，4]，
对称轴t=1，a＞0，
∴t=2时，y_min=4a-4a+1-b=1，
t=4时，y_max=16a-8a+1-b=9，
解得a=1，b=0，
（2）4^x-2•2^x+1-k•4^x≥0在x∈[-1，1]上有解
设2^x=t，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∵f（2^x）-k.2^x≥0在x∈[-1，1]有解，
∴t²-2t+1-kt²≥0在t∈[$\frac{1}{2}$，2]有解，
∴k≤$\frac{{t}^{2}-2t+1}{{t}^{2}}$=1-$\frac{2}{t}$+$\frac{1}{{t}^{2}}$，
再令$\frac{1}{t}$=m，则m∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∴k≤m²-2m+1=（m-1）²
令h（m）=m²-2m+1，
∴h（m）_max=h（2）=1，
∴k≤1，
故实数k的取值范围（-∞，1]．

点评 本题考查函数的单调性质的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．