Question

11．双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）与抛物线$y=\frac{1}{8}{x^2}$有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直于y轴的弦长为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出抛物线的焦点，可得双曲线的一个焦点坐标，再利用过点F且垂直于实轴的弦长为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求出a，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：抛物线$y=\frac{1}{8}{x^2}$的焦点坐标为（0，2），∴双曲线的一个焦点为（0，2）．
令y=2，代入双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴x=±b$\sqrt{\frac{4}{{a}^{2}}-1}$，
∵过点F且垂直于实轴的弦长为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴2b$\sqrt{\frac{4}{{a}^{2}}-1}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
且a²+b²=4，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，正确求弦长是关键．