Question

设函数f（x）=px²+qx-是奇函数，其中p，q是常数，且q≠0．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若q＜0，求f（x²-1）的单调减区间；
（Ⅲ）求f（sinx+cosx）在x∈[0，]上的最大值与最小值．（用q表示）

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）即
即px²-qx-=-（px²+qx-）得2px²=0对任意x≠0恒成立
∴p=0                              …
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=qx-（q≠0）的定义域为{x|x≠0}
∵f（x）=q+
∴当q＜0时，f′（x）＜0恒成立，f（x）在定义域内是减函数
又∵x²-1≠0时，x≠±1，
t=x²-1在（0，1），（1，+∞）上递增，在（-∞，-1），（-1，0）上递减
∴当q＜0时，f（x²-1）的单调减区间为（0，1）和（1，+∞）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
当q＜0时，函数f（x）在定义域内是减函数
当q＞0时，函数f（x）在定义域内是增函数
∵u=sinx+cosx=sin（x+），x∈[0，]
则u∈[1，]
当q＜0时，函数f（x）的最大值为f（1）=0，最小值为f（）=q
当q＞0时，函数f（x）的最大值为f（）=q，最小值为f（1）=0
分析：（I）由f（x）为奇函数，故f（-x）=-f（x），代入后根据多项式相等的充要条件，可得p的值；
（Ⅱ）由（I）可得f（x）的解析式，利用导数法分析出函数的单调性后，进而可由复合函数单调性得到f（x²-1）的单调减区间
（III）由（II）可得当q＜0时，函数f（x）在定义域内是减函数，当q＞0时，函数f（x）在定义域内是增函数，结合sinx+cosx在x∈[0，]上的值域为[1，]，代入可得函数的最值．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，两角和与差的正弦函数，函数的最值，复合函数的单调性，函数奇偶性的性质，是函数图象和性质比较综合的应用，属于难题．