Question

设f（x）=ax²+bx，1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4．求f（-2）的取值范围．

Answer 1

分析：要求f（-2）的取值范围，解题的思路为：由f（x）关系式推出f（-2）与f（1）和f（-1）的关系，再利用f（1）和f（-1）的范围，即可得f（-2）的范围．

解答：解：法一：设f（-2）=mf（-1）+nf（1）（m、n为待定系数），
则4a-2b=m（a-b）+n（a+b）．
即4a-2b=（m+n）a+（n-m）b．
于是得

m+n=4 n-m=-2

，
解得

m=3 n=1

，
∴f（-2）=3f（-1）+f（1）．
又∵1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，
∴5≤3f（-1）+f（1）≤10，
故5≤f（-2）≤10．

点评：由a＜f₁（x₁，y₁）＜b，c＜f₂（x₁，y₁）＜d，求g（x₁，y₁）的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g（x₁，y₁）=pf₁（x₁，y₁）+qf₂（x₁，y₁），用恒等变形求得p，q，再利用不等式的性质求得g（x₁，y₁）取值范围．