Question

如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=3MB，线段CE上是否存在一点N，使得MN∥平面DAE？若存在，求出CN的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC
又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF
∵BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，
∵BE?平面BCE，∴AE⊥BE；
（2）解：存在CN=CE，使得MN∥平面DAE．
在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，
∵AM=3MB，∴CN=CE
∵MG∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE，∴MG∥平面ADE
同理可证，GN∥平面ADE，
∵MG∩GN=G，∴平面MGN∥平面ADE
又∵MN?平面MGN，∴MN∥平面ADE，
∵EB=BC=2，∴CE=2
∴CN=
分析：（1）由AD∥BC和AD⊥平面ABE证明AE⊥BC，再由BF⊥平面ACE得AE⊥BF，根据线面垂直的判定定理证出AE⊥平面BCE，即证出AE⊥BE；
（2）根据条件分别在△ABE中过M点作MG∥AE和△BEC中过G点作GN∥BC，根据线面平行的判定证出MG∥平面ADE和GN∥平面ADE，由面面平行的判定证出平面MGN∥平面ADE，则得到N点在线段CE上的位置．
点评：本题是关于线线、线面和面面垂直与平行的综合题，利用垂直与平行的判定（性质）定理，实现线线、线面和面面的相互转化，属于中档题．