设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;
(3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间.
(1)π-4.
(2)4
(3)递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈Z)
【解析】
试题分析:解:(1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,
∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则
S=4S△OAB=4×=4.
(3)根据(1)(2)可知函数的图形,根据奇偶性以及解析式和对称中心可知,
在一个周期[-1,3]内的图象可知增区间为[-1,1],减区间为[1,3],那么推广到整个实数域可知,都加上周期的整数倍即可,故可知函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈Z)
考点:函数图象与性质
点评:主要是考查了函数的图象与性质的综合运用,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:
(1)试证:x=1是函数f(x)的一条对称轴;
(2)证明函数f(x)是以4为周期的函数,并求x∈[1,5]时,f(x)的解析式.
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科目:高中数学 来源: 题型:
A.a<-1或a> B.-l<a<
C.a< D.a<且a≠-1
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年人教版高考数学文科二轮专题复习提分训练7练习卷(解析版) 题型:填空题
设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)= .
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年河北省高三上学期期末考试文科数学 题型:选择题
设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有恒成立,则不等式 的解集是
A.(-2,0) ∪(2,+∞) B.(-2,0) ∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2)
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