Question

如图所示，在平行四边形中，

AB

•

BD

=0，且2

AB

2+

BD

2=1，沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球表面积为

π

．

Answer 1

分析：根据数量积为零，得∠ABD=∠CBD=90°，故AC的中点O为外接球的球心，AC就是所求外接球的直径，由面面垂直的性质和勾股定理，算出AC²的值并结合球的表面积公式，可得该外接球的表面积．

解答：解：∵

AB

•

BD

=0，∴∠ABD=∠CBD=90°，
∵二面角A-BD-C是直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD，
∵平面ABD∩平面BCD=BD，AB?平面ABD，且AB⊥BD
∴AB⊥平面BCD，可得AB⊥BC，△ABC是以AC为斜边的直角三角形
同理可得，△ACD是以AC为斜边的直角三角形
由此可得：AC的中点O即为外接球的球心
∵Rt△ABC中，|

AC

|²=|

AB

|²+|

BC

|²=2

AB

2+

BD

2=1
∴外接球的半径R=

1

2

|

AC

|=

1

2

因此，三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4π•R²=4π×

1

4

=π
故答案为：π

点评：本题考查图形的翻折，考查了面面垂直的性质、球表面积公式和球内接多面体的性质等知识，属于中档题．