Question

【题目】已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）ex ．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若方程a（ +1）+ex=ex在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（x2+x﹣2）ex=（x﹣1）（x+2）ex，

令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，

故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，在（1，+∞）递增

（2）解：方程a（ +1）+ex=ex可化为ex﹣ax2+（a﹣e）x=0，

令g（x）=ex﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，易知g（0）=1，g（1）=0，

g′（x）=ex﹣2ax+a﹣e，设g′（x）=h（x），则h′（x）=ex﹣2a，

①a＜0时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（0）=1+a﹣e＜0，

h（1）=﹣a＞0，即h（x）在区间（0，1）只有1个零点x1，

故g（x）在（0，x1）递减，在（x1，1）递增，

而g（0）=1＞0，g（1）=0，得g（x1）＜g（1）=0，故g（x）在（0，x1）内存在唯一零点；

②当0≤a≤ 时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，

h（x）＜h（1）=﹣a≤0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）无零点；

③当 ＜a＜ 时，令h′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），

∴h（x）在区间（0，ln（2a））上递减，在（ln（2a），1）递增，

h（x）在区间（0，1）上存在最小值h（ln（2a）），

故h（ln（2a））＜h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e＜a﹣ ＜0，

故 ＜a＜ 时，x∈（0，1），都有g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，

又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）内无零点；

④a≥ 时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，1）递减，h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e，

若h（0）=1+a﹣e＞0，得a＞e﹣1＞ ，

则h（x）在区间（0，1）只有1个零点x2，

故g（x）在（0，x2）递增，在（x2，1）递减，

而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）无零点，

若 ＜a时，则h（0）=1+a﹣e＜0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）内无零点，

综上，a＜0时，方程a（ +1）+ex=ex在（0，1）内有解

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题可化为ex﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=ex﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可．