Question

设p、q∈R⁺且满足log₉p=log₁₂q=log₁₆（p+q），求

q

p

的值．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，利用换底公式可化得

lnp

2ln3

=

lnq

2ln2+ln3

=

ln(p+q)

4ln2

；再联立方程组可得2lnq=ln（p+q）+ln（p+q）×

lnp

2lnq-lnp

；从而化简得到p²+pq-q²=0，从而求值．

解答： 解：∵log₉p=log₁₂q=log₁₆（p+q），
∴

lnp

ln9

=

lnq

ln12

=

ln(p+q)

ln16

；
即

lnp

2ln3

=

lnq

2ln2+ln3

=

ln(p+q)

4ln2

；
由

lnp

2ln3

=

lnq

2ln2+ln3

得；
ln3=

2lnpln2

(2lnq-lnp)

；
代入

lnq

2ln2+ln3

=

ln(p+q)

4ln2

得，
4lnqln2=2ln（p+q）ln2+ln（p+q）×

2lnpln2

(2lnq-lnp)

；
故2lnq=ln（p+q）+ln（p+q）×

lnp

2lnq-lnp

；
2lnq=2ln（p+q）×

lnq

2lnq-lnp

；
ln（p+q）=2lnq-lnp；
从而可得，p+q=

q2

p

；
故p²+pq-q²=0，
故p=

-1± 5

2

q；
又∵p、q∈R⁺，
∴

q

p

=

5 +1

2

．

点评：本题考查了对数的运算，属于基础题．