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在(1+x)n的展开式中,已知第3项与第5项的系数相等.
(1)求(x2-
1x
n展开式中的系数最大的项和系数最小的项;
(2)求(x2+x-2)n展开式中含x2项的系数.
分析:(1)依题意,由
C
2
n
=
C
4
n
,可求得n,利用(x2-
1
x
)
6
的通项Tr+1=(-1)r
C
r
6
x12-3r即可求得其展开式中的系数最大的项和系数最小的项;
(2)利用(x2+x-2)6=(x2+x-2)•(x2+x-2)…(x2+x-2)(6个括号相乘),利用组合数的性质即可求得答案.
解答:解:由已知得
C
2
n
=
C
4
n
,即
n(n-1)
2
=
n(n-1)(n-2)(n-3)
4×3×2×1
,解得n=6 …(3分)
(1)∵(x2-
1
x
)
6
的通项Tr+1=
C
r
6
(x26-r(-
1
x
)
r
=(-1)r
C
r
6
x12-3r
∴当r=3时,展开式中的系数最小,即T4=-20x3为展开式中的系数最小的项;
当r=2或r=4时,展开式中的系数最大,即T3=15x6,T5=15为展开式中的系数最大的项 …(9分)
(2)∵(x2+x-2)6=(x2+x-2)•(x2+x-2)•…•(x2+x-2)(6个括号相乘),
要出现x2项,有两类:
一类是6个括号中有一个括号提供x2项,另5个括号均提供-2,共有
C
1
6
×(-2)5=-192个;
另一类是6个括号中有二个括号提供x项,另4个括号均提供-2,共有
C
2
6
×12×(-2)4=240个;
∴(x2+x-2)6展开式中含x2项的系数为
C
1
6
×(-2)5+
C
2
6
×12×(-2)4=-192+240=48.…(15分)
点评:本题考查二项式系数的性质,着重考查二项展开式的通项公式与组合数的性质,考查分析、转化与运算能力,属于中档题.
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(2012•自贡一模)要研究可导函数f(x)=(1+x)n(n∈N*)在某点x0处的瞬时变化率,有两种方案可供选择:①直接求导,得到f′(x),再把横坐标x0代入导函数f′(x)的表达式;②先把f(x)=(1+x)n按二项式展开,逐个求导,再把横坐标x0代入导函数f′(x)的表达式.综合①②,可得到某些恒等式.利用上述思想方法,可得恒等式:Cn1+2Cn2+3Cn3+…nCnn=
n•2n-1
n•2n-1
 n∈N*

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_________(n∈N*)

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