Question

已知当x=5时，二次函数f（x）=ax²+bx+c取得最小值，等差数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），a₂=-7．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=

an

2n

，证明Tn≤-

9

2

．

Answer 1

分析：（I）利用二次函数在对称轴处取得最小值列出关于a，b的等式；利用数列的通项与前n项和的关系得到通项的形式，利用已知条件a₂=-7求出参数a的值，进一步得到数列{a_n}的通项公式．
（II）求出数列{b_n}的通项，根据其通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成，所以利用错位相减法求出前n项和
T_n，分n≤4和n＞4进行证明．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=a+b+c，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
又a₁适合上式，得2a+b-a=a+b+c，∴c=0．
由已知a2=4a+b-a=3a+b=-7，-

b

2a

=5，
解方程组

3a+b=-7 - b 2a =5

得

a=1 b=-10

∴a_n=2n-11．
（Ⅱ）bn=

2n-11

2n

，
∴Tn=

-9

2

+

-7

22

+…+

2n-11

2n

①

1

2

Tn=…

-9

22

+…+

2n-13

2n

+

2n-11

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=-

9

2

+

2

22

+…+

2

2n

-

2n-11

2n+1

=-

9

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-11

2n+1

=-

7

2

-

1

2n-1

-

2n-11

2n+1

，
∴Tn=-7-

2n-7

2n

．
则T1=-

9

2

，T2=-

9

2

-

7

2

＜-

9

2

，T3=-

9

2

-

7

2

-

5

2

＜-

9

2

，
当n≥4时，

2n-7

2n

＞0，∴Tn=-7-

2n-7

2n

＜-7＜-

9

2

，
综上，得Tn≤-

9

2

．

点评：求数列的前n项和应该先求出数列的通项，根据数列通项的特点选择合适的求和方法．常见的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法．