Question

证明：
（1）已知x，y都是正实数，求证：x³+y³≥x²y+xy²，
（2）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2 ≥ 

1

3

．

Answer 1

分析：（1）用比较法证明不等式，（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=（x+y）（x-y）²，分析符号可得结论．
（2）由题意得，1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤3（a²+b²+c²），结论得证．

解答：证明：（1）∵（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=x² （x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y² ）
=（x+y）（x-y）²．
∵x，y都是正实数，∴（x-y）²≥0，（x+y）＞0，∴（x+y）（x-y）²≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²．
（2）∵a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
≤3（a²+b²+c²），∴a²+b²+c²≥

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3

，当且仅当a=b=c 时，等号成立．

点评：本题考查用比较法证明不等式，基本不等式的应用，将式子变形是证明的关键．