Question

（理）设S是整数集Z的非空子集，如果?a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，TUV=Z且?a，b，c∈T有abc∈T，?x，y，z∈V有xyz∈V，有结论
①T，V中至少有一个关于乘法是封闭的；
②T，V中至多有一个关于乘法是封闭的；
③T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的；  
④T，V中每一个关于乘法都是封闭的．
其中结论恒成立的是

①

．

Answer 1

分析：根据已知，不妨设1∈T，令c=1，易得T关于乘法是封闭的，同理当1∈V时，可得V关于乘法是封闭的，进而可判断①的真假；令T={奇数}，V={偶数}，可以判断②③的真假；T=N，V=Z_-，可以判断④的真假，进而答案答案．

解答：解：因为TUV=Z，故必有1∈T或1∈V，
不妨设1∈T，则令c=1，
依题意对?a，b∈T，有ab∈T，
从而T关于乘法是封闭的；
同理当1∈V时，可得V关于乘法是封闭的；
故①T，V中至少有一个关于乘法是封闭的是恒成立的；
若T={奇数}，V={偶数}，显然两者都关于乘法是封闭，故②T，V中至多有一个关于乘法是封闭的及③T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的，均不恒成立；
取T=N，则V为所有负整数组成的集合，显然T关于乘法是封闭的，但V显然是关于乘法是不封闭的，如（-1）×（-2）=2∉V，故④也不是恒成立的
故答案为：①．

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了分类讨论思想，其中正确理解封闭的含义是解答的关键．