Question

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=

2

，M是线段B₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求证：D₁O⊥平面AB₁C；
（Ⅲ）求二面角B-AB₁-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接D₁O，通过证明D₁O∥BM，去证BM∥平面D₁AC．
（Ⅱ通过证明 OB₁⊥D₁O．AC⊥D₁O，由线面垂直的判定定理去证D₁O⊥平面AB₁C，
（Ⅲ）在平面ABB₁中过点B作BE⊥AB₁于E，连接EC，证明∠BEC是二面角B-AB₁-C的平面角，再再直角三角形BEC中求解．

解答：解：（Ⅰ）连接D₁O，如图，∵O、M分别是BD、B₁D₁的中点，BD₁D₁B是矩形，
∴四边形D₁OBM是平行四边形，∴D₁O∥BM．
∵D₁O?平面D₁AC，BM?平面D₁AC，
∴BM∥平面D₁AC．
（Ⅱ）连接OB₁，∵正方形ABCD的边长为2，BB1=

2

，
∴B1D1=2

2

，OB₁=2，D₁O=2，
则OB₁²+D₁O²=B₁D₁²，∴OB₁⊥D₁O．
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，AC⊥D₁D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，又D₁O?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥D₁O，又AC∩OB₁=O，
∴D₁O⊥平面AB₁C．
（Ⅲ）在平面ABB₁中过点B作BE⊥AB₁于E，连接EC，
∵CB⊥AB，CB⊥BB₁，
∴CB⊥平面ABB₁，又AB₁?平面ABB₁，
∴CB⊥AB₁，又BE⊥AB₁，且CB∩BE=B，
∴AB₁⊥平面EBC，而EC?平面EBC，
∴AB₁⊥EC．
∴∠BEC是二面角B-AB₁-C的平面角．
在Rt△BEC中，BE=

2 3

3

，BC=2
∴tan∠BEC=

3

，∠BEC=60°，
∴二面角B-AB₁-C的大小为60°．

点评：本题考查直线和平面位置关系及其判定，二面角求解，考查转化的思想方法（线线位置关系转化为线面位置关系）空间想象能力，计算能力．