Question

如图1，等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，∠ADC=∠BCD=60°．取线段CD中点E，将△ADE沿AE折起，如图2所示．
（1）当平面ADE折到与底面ABCE所成的二面角为90⁰时，如图3所示，求此时二面角A-BD-C平面角的余弦值．
（2）在将△ADE开始折起到与△ABE重合的过程中，求直线DC与平面ABCE所成角的正切值的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在图3中取AE中点O，可取O为原点建立直角坐标系，分别求出平面ABD法向量与平面CBD的法向量，最后利用向量的夹角公式求出夹角的余弦值，即为二面角平面角的余弦值；
（2）在折动过程中，直线DC与平面ABCE所成的角为∠DCF，设DF=t∈[0，2

3

]，则tan2∠DCF=

DF2

FC2

=

2 3 t-t2

t2-4 3 t+16

，设g（t）=

2 3 t-t2

t2-4 3 t+16

，t∈[0，2

3

]，然后利用导数研究函数g（x）的最值即可求出所求．

解答：
解：（1）在图3中取AE中点O，建立直角坐标系．
∵平面DAE⊥平面ABCE，DO⊥AE，DO?平面DAE，平面DAE∩平面ABCE=AE
∴DO⊥平面ABCE
易知BA=BE∴BO⊥AC∴可取O为原点建立直角坐标系（2分）

A(1，0，0)，B(0， 3 ，0)，C(-2， 3 ，0)，D(0，0， 3 )，E(-1，0，0) ∴ AB =(-1， 3 ，0)， DB =(0， 3 ，- 3 )， CB =(2，0，0)

设平面ABD法向量为

n

 =(x，y，z)，平面CBD法向量为

m

=(x，y，z)
则

AB • n =-x+ 3 y=0 DB • n = 3 y- 3 z=0

?

x= 3 y y=z

∴可取平面ABD法向量

n

=(

3

，1，1)

CB • m =2x=0 DB • m = 3 y- 3 z=0 ? x=0 y=z

∴可取平面ABD法向量

m

=(0，1，1)
cos＜

n

，

m

＞ =

n • m

| n || m |

 =

10

5

 （7分）
（2）在图2中作DF⊥D′B，交D′B于F点．易证DO⊥AE，D'O⊥AE，
∴AE⊥平面DD^′B∴AE⊥DF又DF⊥DB，∴DF⊥面ABCE．
∴在折动过程中，直线DC与平面ABCE所成的角为∠DCF，
设DF=t∈[0，2

3

]，则FB=2

3

-t，FC=

FB2+BC2

=

t2-4 3 t+16

．
FO=|t-

3

| ，DF=

DO2-FO2

=

2 3 t-t2

，
∴tan2∠DCF=

DF2

FC2

=

2 3 t-t2

t2-4 3 t+16

，
设g（t）=

2 3 t-t2

t2-4 3 t+16

，t∈[0，2

3

]，则g′(t)=

2 3 (t- 4 3 3 ) (t-4 3 )

(t2-4 3 t+16) 2

，
t∈(0，

4

3

3

)时，g′(t)＞0；t∈(

4

3

3

，2

3

) ，g′ (t)＞0
∴t=

4

3

3

时，g(x)max=

1

2

，
即t=

4

3

3

时，tan∠DCF最大值为

2

2

．

点评：本题主要考查了利用空间向量度量二面角的平面角以及线面所成角，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．