Question

6．x、y为正数，若2x+y=1，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为$3+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意整体代入可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（2x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵正数x、y满足2x+y=1，
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（2x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）
=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}$=$3+2\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{2x}{y}$即x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$且y=$\sqrt{2}$-1时取等号．
故答案为：$3+2\sqrt{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及“1”的整体代换，属基础题．