Question

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°．设

AB

=

a

，

AC

=

b

，若

AO

=λ1

a

+λ2

b

，则λ₁+λ₂=

 

．

Answer 1

分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ₁和λ₂  的值．

解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2，0），C（-

1

2

，

3

2

），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x=1 上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（-

1

4

，

3

4

），AC的斜率为-

3

，
∴中垂线n的方程为 y-

3

4

=

3

3

（x+

1

4

）．
把直线 m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，

2 3

3

），
由条件

AO

=λ₁ 

AB

+λ₂ 

AC

，
得（1，

2 3

3

）=λ₁（2，0）+λ₂（-

1

2

，

3

2

）=（2λ₁-

1

2

λ₂，

3

2

λ₂ ），
∴2λ₁-

1

2

λ₂=1，

3

2

λ₂=

2 3

3

，∴λ₁=

5

6

，λ₂=

4

3

，∴λ₁+λ₂ =

13

6

，
故答案为

13

6

．

点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．